Критерій хі-квадрат

Як її обчислюють

Очікувана кількість влучень на коміркуобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю → дорівнює n/37. Для кожної комірки піднесіть до квадрата різницю між спостереженим і очікуваним значенням, поділіть на очікуване й додайте всі 37 доданків. Чесне колесо в середньому дає значення близько 36 (це ступені вільностілабораторіяСтупені вільностіКількість незалежних значень у статистиці. Для критерію хі-квадрат на 37 комірках їх 36, бо частоти мають у сумі давати загальну кількість.Читати повністю →) зі стандартним відхиленнямматематикаСтандартне відхиленняКвадратний корінь із дисперсії; типова відстань результату від математичного сподівання.Читати повністю → приблизно 8,5. Значення понад 51,0 значущі на рівні 5%, понад 58,6 – на рівні 1%. Аналізатор перекосу колеса обчислює статистику й точне p-значеннялабораторіяp-значенняЙмовірність побачити відхилення не менше за спостережене, якби колесо було чесним.Читати повністю → за регуляризованою неповною гамма-функцією.

Розібраний приклад

1 000 спінів. Тридцять шість комірок мають від 20 до 34 влучень, а комірка 8 – 41. Очікуване значення – 27,03. Лише доданок комірки 8 становить (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Припустімо, що решта 36 доданків дають у сумі 38 (типовий випадок). Тоді χ² = 45,2 при 36 ступенях вільності, p ≈ 0,14. Це не значущо: чесне колесо дає таке один раз із семи. Комірка 8 – кандидат, а не висновок, і відповідь тут – ще тисяча спінів.

Припущення

Незалежні спіниматематикаНезалежні спіниКожен спін має ті самі ймовірності незалежно від історії. Основа всіх розрахунків на цьому сайті.Читати повністю → та очікувана кількість влучень щонайменше 5 на комірку, а це означає n ≥ 185, щоб критерій узагалі був коректним, і значно більше, щоб він був корисним. Об’єднання спінів з різних коліс порушує перше припущення за суттю (ви перевіряєте суміш, а не колесо). Ефект почерку дилера порушив би його насправді й завищив би χ², хоча жодна комірка фізично не мала б переваги.

Почерк дилера в рулетціНезалежні спіни в рулетці

Пірсон і Монте-Карло

Карл Пірсон опублікував критерій у 1900 році, і одним із його перших розібраних прикладів були 26 306 записаних спінів рулетки в Монте-Карло. Він знайшов їх надто нерівномірними для випадковості й заявив, що «рулетка в Монте-Карло… не є грою випадку». Пізніші автори дійшли висновку, що журналісти, які записували спіни для газети, багато з них вигадали, і це окремий урок про походження даних.

Рулетка в Монте-Карло

Справжня перевірка: автоматичні колеса в Лас-Вегасі

Гравці часто підозрюють, що автоматичне колесо відводить кулькуобладнанняКулькаМаленька кулька, яку запускають доріжкою проти обертання ротора. Сучасні кульки роблять з іворину або тефлону, 18–21 мм.Читати повністю → від великих ставок. Аналіз 2017 року перевірив цю підозру на бездилерних колесах Interblock із двома зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → у Лас-Вегасі, ставлячи на дугу з п’яти сусідніх чисел, тобто на ставку, яку робить той, хто хронометрує колесо. За 299 спінів дуга виграла 29 разів проти очікуваних 39,3 – такий дефіцит чесне колесо дає приблизно у 4% випадків. Хі-квадрат за всіма 38 комірками дорівнював 45,29 за 37 ступенів вільності: p = 16,5%. Другий зразок із 1 204 спінів на трьох колесах дав χ² = 34,79, p = 57%, і жодна дуга будь-якого випробуваного розміру не була значущою. Обидва зразки разом, 1 503 спіни, дали χ² = 41,75, p = 27%. Висновок: доказів керування немає. Лише перший зразок виглядав підозріло; саме другий це вирішив.

Крім хі-квадрат

Для однієї підозрілої комірки потужніший біноміальний критерій. Для підозрілої дуги – z-критерій сектораколесоСекторСуцільна дуга комірок на колесі, на відміну від групи чисел на ігровому полі.Читати повністю → зі сторінки аналізу секторів. Хі-квадрат – загальний критерій: він показує, що щось не так, але не каже що. Застосуйте його першим, а потім дивіться докладніше.

Аналіз секторів

Формула

Запитання